【大学入試】高校数学　複雑な因数分解の覚え方

time 2021/12/07

因数分解中学校の数学では、2次までの多項式を乗法公式やたすきがけで因数分解します。しかし、高校の数学では、多項式は2次式に限られません。3次式以上の場合は、多項式を解くために因数分解の公式を使う必要があります。今回は、高校の数学で因数分解の問題によく使われる様々な公式を紹介します。

（a＋b）³（a-b）³

まず、中学生だった頃を振り返ってみましょう。和と差の2乗の公式を覚えていますか？

a²+2ab+b²=(a+b)²

a² – 2ab + b² = (a – b)²

高校の数学では、因数分解は二次方程式よりも進んでおり、和と差の三次式を学びます。

a³+3a²b+3ab²+b³=(a+b)³

a³ – 3a²b + 3ab² – b³ = (a – b)³

指数が「３・２・２・３」という規則で並んでいます。

この式で覚えておきたいのは、マイナス記号の位置です。2乗の式とは異なり、マイナス記号は2か所に現れます。最後の「-b³」については、(-b)³という形を思い浮かべていただければ、マイナス記号がつくことが容易に想像できると思います。また、”3a²b “や “3ab² “にマイナス記号をつけるときは、”b “が奇数のとき、つまり1次や3次のときにマイナス記号をつけることを落ち着いて覚えておきましょう。ちなみに、4次までの和差算の計算式は次のようになります。時間に余裕があれば、覚えておくといいでしょう。

a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴=(a+b)⁴

a⁴-4ab³+6a²b²-4ab³+b⁴=(a-b)⁴

指数が「４・３・２・２・３・４」という規則で並んでいます。

マイナス記号は、立方体の公式と同じ方法で追加されます。なお、マイナス記号は(-b)の次数が奇数の場合に使用します。

a³ + b³, a³ – b³

次のような公式を中学数学で覚えていませんか？

a² – b² = (a + b)(a – b) となります。

2次の差の式も存在しています。また、2次式には存在しない3次の和の公式もあります。この2つの式は一緒に勉強してください。

a³+b³=(a+b)(a² – ab+b²)

a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)

この2つの式を覚える際には、3つのポイントがあります。

まず1点目は、「a³+b³」の公式と「a³-b³」の因数分解の公式で、正負の位置が一部入れ替わっていることです。「a³+b³は正で始まり、a³-b³は負で始まり、次の記号はその反対」と覚えておきましょう。

2点目は、因数分解の式の「a²±ab+b²」を中学数学の乗法公式に出てきた「a²±2ab+b²」を混同している人が多いことです。係数に注意することを忘れないでください。

最も多い間違いは（a±b）³という式と混同してしまうことです。これは中学数学でよくみられる「(a-b)²とa²-b²の混同」に似ています。同じ3次式であり、項が「a」と「b」の2つしかないため、多くの人が混同してしまいます。ほんのちょっと意識するだけでミスを防げますので。気を付けてください。

3文字の因数分解：

a³ +b³ +c³-3abc

3文字の因数分解 3文字が発生する因数分解もたすき掛けは通用しません。そのために、公式を覚えておくのが鉄則です。

a³+b³+c³-abc = (a+b+c)(a²+b²+c² – ab – bc – ca)

前節で紹介した「a³+b³」の式と似たような形です。これは覚えにくい式ですが、因数分解の問題でもよく使われますので、必ず覚えておきましょう。また、多項式の乗法展開に出てくる「(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca」という式と混同しないように注意が必要です。指数が「３・３・３→２・２・２」となっている点を覚える糸口にしましょう。

まとめ

高校の数学で、たすき掛けが通用しない因数分解問題に対して、様々な公式を紹介してきました。因数分解の公式を扱うときには、符号や係数などの詳細を忘れがちです。答えに確信が持てない場合は、展開して確認するとよいでしょう。とはいえ、時間の短縮という点からは、公式を覚えて早く解く力が求められます。まずは公式を覚えて、自由自在に操れるようになるまで何度も問題を解くことです。

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